Vecteurs égaux

Propriété
Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. Soit \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\) deux vecteurs du plan.
Alors les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont égaux si et seulement si on a \(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime}\\ \end{cases}\).

Démonstration
Dans une base du plan \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\), on considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x^{\prime}\\ y^{\prime} \\ \end{pmatrix}\).
Ainsi on peut écrire \(\overrightarrow{u} = x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}\).

• Sens direct
  On a \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\) soit \(x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j}\) ce qui peut aussi s'écrire :
  \((x-x^{\prime} ) \times \overrightarrow{i} + (y-y^{\prime}) \times \overrightarrow{j} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}\).
  Le vecteur nul \(\overrightarrow{0}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\). Ses coordonnées sont uniques. Donc :
   \(\begin{cases} x-x^{\prime} = 0\\ y-y^{\prime}=0 \\ \end{cases}\) soit \(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
  
• Sens réciproque
  On a \(\begin{cases} x = x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \\ \end{cases}\).
  Donc \(\overrightarrow{u} =x \times \overrightarrow{i} + y \times \overrightarrow{j} = x^{\prime} \times \overrightarrow{i} + y^{\prime} \times \overrightarrow{j} =\overrightarrow{v}\)
  On obtient bien \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\).